Số bè bạn và số hoàn hảo

Số bè bạn và số hoàn hảo 

Chủ đề của bài báo: C++, Thuật toán, Số nguyên tố, Số bè bạn, Số hoàn hảo.

Cập nhật ngày 16/03/2014: Hai số hoàn hảo đầu tiên, 6 và 28, đã được Pythogoras và các người bạn của ông tìm ra từ thời Hy lạp cổ đại. Hai số này có, hoặc không, sự liên hệ tới cấu trúc của vũ trụ: Chúa tạo ra thế giới trong 6 ngày, mặt trăng quay quanh trái đất theo một chu kỳ 28 ngày. Euler đã chứng minh được tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng p(p+1)/2 trong đó p là một số nguyên tố Mersenne. Một bài toán vẫn chưa có lời giải là: liệu có tồn tại một số hoàn hảo lẻ?

Trong quá trình học lập trình và thuật toán, đa số trong chúng ta đã từng nghe tới và làm các bài tập về các số bè bạn (friend numbers) và số hoàn hảo (perfect numbers). Các số bè bạn n, m là hai số nguyên mà tổng ước số của n bằng m và tổng các ước của m bằng n, ví dụ như cặp số bè bạn nhỏ nhất là 220 và 284. Các số hoàn hảo là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó, ví dụ như các số hoàn thiện đầu tiên là 6, 28 … Bài toán thường liên quan tới các số bè bạn và số hoàn hảo là in ra tất cả các cặp số bè bạn và các số hoàn hảo không vượt quá một số nguyên N nào đó. Đây là hai bài toán khác nhau song lại có liên quan mật thiết với nhau vì trong quá trình xây dựng giải thuật cho bài toán chúng ta đều cần đến khái niệm gọi là tổng các ước của một số nguyên. Trong trường hợp N là một số nguyên nhỏ (N < 10000) thì một thuật toán đơn giản và hết sức trực quan cũng tạm chấp nhận được là:

·           Xây dựng một hàm tính tổng ước của một số nguyên

·           Duyệt các số từ 2 tới N, nếu tồn tại hai số i, j khác nhau mà tổng ước của i bằng j và tổng ước của j bằng i thì in ra i, j. Khi đó i, j chính là một cặp số bè bạn.

·           Duyệt các số từ 2 tới N, nếu tổng ước của số đó bằng chính nó thì in ra màn hình, đó chính là một số hoàn thiện cần tìm.

Trước hết ta đi xây dựng hàm tính tổng các ước số của một số nguyên m: ta đã biết các ước số của m, nếu có sẽ không vượt quá căn bậc 2 của m (tức là sqrt(m)), và khi a là một ước của m thì m/a (m chia a) cũng là một ước của m (phần này xin đọc thêm bài báo “Số nguyên tố” để biết thêm chi tiết) nên một thuật toán hiệu quả sẽ xét các ứng cử viên có thể là ước của m nằm trong khoảng 1 tới sqrt(m) (gọi ước này là a), sau đó cộng a và m/a vào tổng ước của số m. Cài đặt cụ thể bằng ngôn ngữ C của thuật toán như sau:

int tong_uocso(int m)

{

            int i;

            int z = (int)(sqrt(m+1));

            int ret = 1;

            for(i=2;i<=z;i++)

                        if(m%i==0)

                                    ret = ret + i + (m/i);

            return ret;

}

            Sau khi đã có hàm tính tổng ước số của một số nguyên, việc in ra các số hoàn thiện trở nên dễ dàng với 1 vòng lặp, nên ta chỉ xét đoạn chương trình in ra các cặp số hoàn thiện phân biệt (không kể thứ tự của các số):

void sobeban1(int n)

{

            int i, j;

            for(i=2;i<=n;i++)

                        for(j=i+1;j<=n;j++)

                                    if(tong_uocso(i)==j&&tong_uocso(j)==i)

                                                printf(“%d %d\n”, i, j);

}

            Hầu hết các lập trình viên mới học lập trình và thuật toán sẽ dừng lại ở đây. Thuật toán in ra các cặp số bè bạn có hai vòng lặp lồng nhau, thuật toán sẽ chạy cỡ khoảng O(N) = N*(N+1)/2 bước, mỗi bước gọi tới hàm tong_uocso() hai lần để thực hiện so sánh nên độ phức tạp của thuật toán sẽ là O(N) = N2 * O(hàm tong_uocso()). Nếu N = 1000000 thì chắc chắn thuật toán không thể chạy trong thời gian 3 giây (thời gian test tối đa của các bài toán trong các cuộc thi lập trình).

            Tuy nhiên quan sát kỹ thuật toán, ta thấy rằng mỗi lần xét i trong vòng lặp thứ nhất, ta không cần thiết phải chạy một vòng lặp để xét các ứng cử viên có thể làm thành một cặp số bè bạn với i, mà chỉ cần xét số z = tong_uocso(i). Vì vậy một thuật toán hiệu quả hơn nhiều sẽ là như sau:

void sobeban2(int n)

{

            int i, z;

            for(int i=2;i<=n;i++)

            {

                        z = tong_uocso(i);

                        if(z<=n && tong_uocso(z)==i && z>i)

                                    printf(“%d %d\n”, i, j);

            }

}

            Ta cần thêm điều kiện z > i để in ra các cặp số khác nhau (vì z bây giờ đóng vai trò thay j trong thuật toán trước).

            Rõ ràng thuật toán thứ hai này có độ phức tạp nhỏ hơn nhiều so với thuật toán thứ nhất, thay vì chạy hai vòng lặp, ta chỉ cần một vòng lặp là đủ. Tất nhiên cải tiến này không thể áp dụng cho bài toán số hoàn hảo vì ta cũng chỉ cần một vòng lặp để in ra tất cả các số hoàn hảo không vượt quá N.

            Rõ ràng bây giờ các cải tiến của chúng ta, nếu có, sẽ không thể tập trung vào các vòng lặp, mà chỉ có thể nằm ở việc tính tổng ước số của mỗi số nguyên.

            Chúng ta đã biết thuật toán sàng Erastosthene để đánh dấu các số nguyên không phải là số nguyên tố (các số còn lại không được đánh dấu sẽ là số nguyên tố – có thể tham khảo trong bài báo số nguyên tố). Thuật toán sàng Erastosthene dựa trên một chi tiết hết sức tinh tế sau: nếu z là một số nguyên tố (hay hợp số) thì các bội số của z sẽ là các hợp số. Chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng chi tiết này cho việc tính tổng ước số của các số nguyên: với bất kỳ giá trị z (z £ N) nào, z sẽ là ước số của các bội số của z nên ta sẽ cộng z với các biến chứa các tổng các ước số tương ứng với các bội số của z đó. Cũng tương tự như thuật toán sàng Erastosthene, ta sẽ sử dụng một mảng để lưu tổng ước cho tất cả các số nguyên không vượt quá N. Cụ thể thuật toán được cài đặt bằng ngôn ngữ C như sau:

void sobeban3(int n)

{

            int * s; // dùng mảng động s để lưu tổng ước của các số từ 1 tới N

            int i, z;

            int m;

            // cấp phát bộ nhớ, hàm malloc nằm trong thư viện stdlib.h

            s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));

            if(s==NULL)

            {

                        printf(“Khong du bo nho”);

                        return;

            }

            // khởi tạo mảng s bằng 1 vì 1 mặc định là ước của tất cả các số nguyên

            for(i=0;i<=n;i++)

                        s[i] = 1;

            // tính s[2..n];

            m = n/2;

            for(i=2;i<=m;i++)

            {

                        z = i + i;

                        // cộng i vào các s[z], z luôn là bội số của i

                        while(z <= n)

                        {

                                    s[z] += i;

                                    z += i;

                        }

            }

            // in ra các cặp số bè bạn

            for(i=2;i<=n;i++)

                        if(s[i]<=n && s[s[i]]==i && i < s[i])

                                    printf(“%d %d\n”, i, s[i]);

           

            free(s); // giải phóng bộ nhớ

}

            Thực ra trong cài đặt trên, chúng ta có thể thay vòng lặp while trong thân vòng lặp for chính bằng một vòng lặp for, nhưng khi đó sẽ cần sử dụng các phép nhân, chậm hơn so với dùng vòng lặp while và phép cộng tích lũy vào biến z.

            Để in ra các số hoàn hảo chúng ta có thể áp dụng thuật toán tương tự với một chút sửa đổi nho nhỏ, và phần này xin dành cho bạn đọc như một bài tập.

            Chúng ta cũng có thể đo thời gian thực hiện của các thuật toán 1, 2, 3 ở trên để thấy được hiệu quả khác nhau của chúng, chẳng hạn như sau:

            float time;

            time_t start, finish; // kiểu time_t nằm trong thư viện time.h

            start = clock(); // hàm tính thời gian clock() nằm trong thư viện time.h

            sobeban1(n);

            finish = clock();

            time = (finish – start)/CLK_TCK; // hằng số CLK_TCK nằm trong thư viện time.h

            Việc tính thời gian của các thuật toán 2, 3 được thực hiện tương tự. Tôi đã chạy thử nghiệm chương trình với DevCpp và kết quả là thuật toán 3 có thể chạy tới N = 2000000 trong vòng 2 giây.

            Chú thích:

1.      O(N): ký hiệu độ phức tạp của thuật toán, thường là số phép toán thực hiện của thuật toán, với dữ liệu input có kích thước là N

           

            Mặc dù đã hết sức thận trọng và xem xét kỹ các ví dụ đưa ra trong bài viết, tuy vậy vẫn có thể không tránh khỏi các sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn độc giả. Mọi góp ý, thắc mắc xin gửi về địa chỉ email: tuannhtn@yahoo.com.

                                                                                               

Hải Phòng, ngày 23, tháng  03, năm 2007
    

Nguyễn Hữu Tuân

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: